안녕하세요. 메디친에서 대학생 멘토로 활동하고 있는 SongT입니다.
5월은 여러분들이 6월 모의평가를 앞두고 자신의 학습 상태를 점검해야 하는 시기입니다.
6월 모의평가를 대비한다고 실전 모의고사를 많이 풀어야 한다고 생각하는 학생들이 있는데,
실전 감각 훈련은 과목별로 한두 번이면 충분합니다.
그러니 6월 모의평가를 앞두고 무슨 스킬을 많이 배우고, 팁을 많이 쌓고 할 것이 아니라,
내가 지금 어느 위치까지 와 있고, 앞으로 무엇을 더 해야 하는지를 점검하는 것이 훨씬 더 좋습니다.
그걸 위해서 6월 모의평가가 있는 것이고요.
자, 글의 제목이 여러분이 지겹도록 많이 들었을 그 단어, '개념'입니다.
저에게 질문을 하러 오는 학생들은 '제가 개념이 부족한 거 같아요'라고 말하면서 찾아오는 학생들이 있고,
'제가 개념은 다 아는 것 같은데 문제가 안 풀려요'라고 말하면서 찾아오는 학생들이 있습니다.
그리고 이런 질문은 대충 5~6월, 이때쯤에 많이 하게 됩니다.
그러니 '개념'이라는 단어는 아무리 많이 강조해도 지나치지 않는 것 같습니다.
그러면 위에서 제가 언급한 학생들은 무엇이 문제일까요?
제가 생각할 때는 이 학생들이
'안다'와 '이해한다', '시험에 활용할 수 있다' 사이의 경계가 없는 것,
이것이 가장 큰 문제라고 생각합니다.
그러니 분명 아는 것 같은데 문제를 보면 '뭐더라?' 싶어서 정작 쓰지는 못하고,
답지를 보면 '아! 내가 아는 거였는데!'하는 사태가 발생한다.
그래놓고서는 이 학생들이 '개념은 아는데 문제가 안 풀려요!'라고 말하는 것이죠.
물론, 이렇게 얘기하는 친구들이 모두 다 개념 학습에 문제가 있다는 것은 아닙니다.
진짜로 개념은 아는데 문제를 못 푸는 학생들도 있습니다.
그때는 문제 풀이 태도와 관련하여 여러 가지 문제를 살펴보아야겠지만,
이게 진짜 개념의 문제인지, 문제 풀이/사고 방법의 문제인지 제대로 확인하는 과정은 필요합니다.
지금부터 할 얘기는 수능이든, 내신이든, 심지어는 초/중/고/대학 어디든 상관없는 이야기입니다.
여러분이 무언가를 배우고, 익히는 과정에 대한 이야기이기 때문입니다.
그럼 '개념'에 대한 이야기를 시작해보겠습니다.
학습 효율성 피라미드. 이제는 정말 많이 유명해진 것 같습니다.
공부를 하고 24시간 후에 남아 있는 비율을 나타낸 이 피라미드는 많은 의미를 담고 있습니다.
물론, 저 세세한 숫자까지 꼭 다 들어맞거나 정확한 데이터를 기반으로 한 것은 아니지만,
이걸 바탕으로 학습 과정의 많은 것들을 설명할 수 있습니다.
저는 이 피라미드 기반으로 제 경험을 좀 더 추가하여 '개념 학습의 단계'를 설명해보고자 합니다.
여러분이 어느 단계에 와 있는지 한 번 잘 생각해보시기 바랍니다.
1단계는 "강의를 들었다"입니다.
많은 학생들이 수업을 들었다는 것만으로 무언가 공부를 했다고 착각하는 경우가 많습니다.
그런데 수업을 듣는 것은 공부라고 할 수 없습니다. 여러분의 지식이 되었다고 할 수 없습니다.
왜냐하면 수업 때 들은 것은 선생님의 지식이지, 여러분의 지식이 아니고,
수업 때 문제를 푼 것은 선생님의 문제풀이를 구경한 것이지, 여러분이 직접 그 문제를 푼 것이 아니기 때문입니다.
그러니 수업을 들었다는 것만으로는 여러분이 무언가를 '배웠다'라고 할 수 없습니다.
착각하지 마세요. 복습하지 않은 것은 공부를 하지 않은 것과 같습니다.
그러면 "수업을 들을 때는 무엇을 해야 하는가?"라고 물으신다면,
저는 선생님이 하는 모든 행동(action)이 이해가 되도록 하라는 말씀을 많이 드립니다.
선생님이 개념을 설명해주세요.
그러면 여러분이 수업의 흐름을 따라서 자연스럽게 그 개념이 이해가 되어야 하고요,
선생님이 문제를 푸세요.
그러면 여러분은 선생님이 왜 문제풀이를 저 단서에서 시작하는지,
왜 그 다음에 그런 생각을 하시는지, 선생님의 풀이 한 줄 한 줄이 다 이해가 되어야 합니다.
여러분이 수업 때 자연스럽게 이해가 되지 않은 부분이 있다면,
일단 열심히 필기를 해두고, 떠오르는 질문을 옆에다가 잠깐 적은 후에
혼자서 여러 번 생각을 해보셔야 합니다.
여러분이 한국사에서 흥선 대원군의 개혁 정책으로 서원 철폐, 호포제 실시, 경복궁 중건을
배웠다고 합시다. 그러면 여러분이 여기에서 의문을 가져야 할 것은
"흥선 대원군은 왜 대체 백성들이 그렇게 싫다고 반대하는 데도 경복궁을 중건했는가?"일 것입니다.
수업 시간에 들으면서 이러한 의문이 자연스럽게 떠오르고,
그걸 적어두었다가 교과서를 찾아보거나 선생님께 질문하면서 모르는 걸 채워나가셔야 합니다.
2단계는 "대충 뭐가 있었는지 감이 잡힌다"입니다.
이제 여러분이 "복습을 했다." 정도가 되면 2단계가 됩니다.
강의를 다시 들어보면, 어디에서 무슨 내용을 얘기했는지는 알겠는데,
갑자기 내가 모르는 내용이 3~4군데 정도 있게 될 겁니다.
따라서 쉬운 문제에서도 풀이가 깔끔하다는 느낌이 들지 못하고 허둥지둥 풀게 되고,
어려운 문제는 문제 해석조차 되지 않는 거죠!
이 친구들에게 강의로 뭐 들었냐고 물어보면 짧은 단어 여러 개로 답변하는 경우가 많습니다.
"어, 접선의 방정식 배웠어요.", "판 구조론 배웠어요.", "가계도 푸는 거 했어요."
이런 답변들의 문제는 여러분이 봐도 보이시지 않나요?
그래서 뭘 배웠냐고요. 그 구체성이 없기 때문에 배운 게 거의 없는 것과 똑같은 겁니다.
여러분은 딱 떨어지는 수치를 좋아하시니까 굳이 이걸 점수로 환산하자면 50~60점 라인이 여기에 속합니다.
(개념만 잘해도 되는 한국사, 사회, 제2외국어(한문, 중국어, 일본어 등) 점수를 생각해 보시면 쉬울 겁니다!)
뭘 많이 듣는데, 뭘 많이 흘려듣는 거죠.
3단계는 "배운 내용이 어느 정도 머리 속에 정리되어 있다."입니다.
이 3단계 친구들이 제일 '골 때리는' 경우가 많습니다.
분명 뭘 많이 했는데, 문제를 풀면 턱턱 막히고, 뭐가 부족한지는 모르겠는,
그런 경우가 제일 많은 것이 이 3단계 친구들입니다.
3단계 친구들은 점수로 환산하자면 60~80점 사이에서 진동하는 학생들이 여기에 속하는 경우가 많습니다.
여러분이 3단계에 머물러 계신다면 제 이야기를 한 번 잘 들어보세요.
일단 이 친구들은 강의를 다시 들었을 때 내가 모르는 내용은 하나도 없습니다.
그러나 중요한 건, 이 단계에서 학습을 멈춘다는 겁니다.
그러면 몇 등급 나오냐면, 3등급이 평균이고, 아주 잘하면 2등급, 못하면 4등급 초반이 나옵니다.
이 친구들의 문제점은 두뇌 속에 지식이 흩어져 있어서 정리가 안 되어있다는 겁니다.
무슨 얘기냐면요,
수학으로 치자면 3점은 좀 풀겠는데, 4점 문제는 조금만 복잡하면 지칠 때까지 문제를 돌아돌아 푸는 것이죠.
이건 왜 그렇냐면 공부를 한 내용을 "어디서, 무엇을, 어떻게" 써야 하는지 모르기 때문에 벌어진 것입니다.
근본적으로는 배워야 할 내용을 '수용'만 했지 '이해'로 나아가지는 못한 것이라는 거죠.
이 단계의 학생들이 '질문'을 제대로 하지 않는 경우가 많습니다. '아 그렇구나!'에서 그쳐버리는 것이죠.
끊임없이 의심하고, 궁금해 해야 그다음 단계로 넘어갈 수 있습니다.
이 친구들이 '응용된 문제가 안 풀려요'라고 말하는 게 그 이유에요.
무슨 소리냐고요? 실제 문제를 보면서 이야기해볼까요?
수학에서 이번 3월 학력평가 이야기를 해봅시다.
기억나시려나요? 아, 혹시 안 풀어봤다면 지금이라도 풀어보세요.
.(해설 스포 방지점)
.
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.
.
.
해설이 이렇게 되어 있습니다.
근데 여러분 여기에서 뭔가 이상하지 않으세요?
대체 f(x)가 k-1보다 크거나 같다가 여기서 왜 필요하는지가 한 번에 납득하기 어렵다는 겁니다.
물론, g(f(x))라는 합성함수에서 f(x)가 새로운 정의역이 되었으니까
정의역의 범위를 확인하는 것은 매우 중요한 태도이지만,
내 눈에 먼저 보이는 것은 g(f(x))의 최솟값이 2라는 조건입니다.
그러니 저는 이 문제 풀 때 g(x)부터 그렸습니다.
g(x) 그리고 나서 생각해보니 g(x)는 최솟값이 2가 아닌데,
f(x)가 정의역이니까, 정의역이 제한되면서 최솟값이 2가 될 수 있겠네요.
그러니 f(x)의 값이 1/2보다 크거나 같도록 설정해주어야 하는 것이죠.
그래서 k 값이 범위로 나오는 것이겠네요!
여러분, 이 문제를 풀 때 만약 선생님께서 "f(x)은 최솟값이 k-1이야. 맞지?"라고 하셨으면,
여러분은 "그렇지. f(x)는 (x+1)2+(k-1)이니까 최솟값이 k-1이지."라고 할 것이 아니라!!
대체 왜 f(x)의 최솟값부터 찾고 시작하는 건지,
f(x)를 왜 표준형으로 바꾸고 시작하는지부터 궁금해 했어야 한다고요.
그런 질문을 하지 않으면 여러분이 풀이를 외우게 되는 겁니다.
그러면 또 합성함수로 낯선 최대, 최소를 물어보면 또 막히는 거죠.
Ander 멘토님이 만든 이 변형문제를 보세요.
(아래 링크 클릭!)
변형문제의 출처
저 문제에서 "f(x)의 최솟값부터 찾아야지!"라고 외워버린 학생들은
f(x)가 절댓값이 씌워져서 최솟값을 찾을 수 없다는 것에 쉽게 당황해버리게 되는 것이죠.
3단계에 있는 학생들은 이게 문제일 가능성이 매우매우 높습니다.
그러니 3단계에서 머무르고 계시다면,
"내가 당연하다고 알고 있는 것들이, 암기로 인해 당연해진 것일 수 있다"는 것을 깨달아야 합니다.
그러면 "그걸 제가 어떻게 깨달을 수 있죠?"라고 질문하시겠죠?
"왜?"라고 물었을 때 답할 수 있어야 여러분의 것이 된 겁니다.
저 10번은 왜 f(x) 최솟값부터 찾는 건지 여러분 스스로가 납득할 때까지 고민해보시라는 겁니다.
f(x) 최솟값부터 찾을 이유가 없다면 다른 걸 찾아야죠.
그렇게 "생각을" "아주 많이" 해야 합니다.
4단계는 "백지복습이 가능하다."입니다.
점수로 환산하자면 70~90점대 라인이 여기에 속합니다.
지구과학을 공부하셨으면, 판 구조론이 정립되는 과정을 백지에 그냥 쓸 수 있는 것이 4단계입니다.
이렇게요.
3단계 친구들에게 저거 써보라 하잖아요?
"아... 분명 들으면 아는데 쓰라고 하니까 못 쓰겠어요."
이렇게 이야기합니다.
이 친구들은 왜 아는데 못 쓰는 걸까요?
그건 앞에서도 얘기했듯 "지식이 흩어져 있기 때문" + "왜?라는 질문을 해본 적이 없기 때문"입니다.
그러니 뭐가 중심 내용이고 뭐가 곁가지인지를 구분을 잘 못합니다.
백지복습을 할 수 있다는 것은요, 자연스럽게 쓸 수 있다는 것은요
개념 간에 연결이 이루어졌다는 것이며,
책에서 죽어있는 지식이 본인의 뇌에서 살아나고 있다는 것입니다.
그러니 3단계에서 4단계로 나아가려면
교과서의 목차 순서가 왜 그렇게 되어 있는지를
이해해보려고 노력해야 해요.
여러분이 머리 속에서 그 흐름을 자연스럽게 그릴 수 있도록 노력해야 해요.
그러면 여기에서 이런 질문을 하는 친구들이 있을 수 있겠네요.
"백지복습이 된 거면 개념 다 된 거 아니에요? 이게 왜 아직도 4단계인거죠?"
오. 좋은 질문이에요. 그건 왜 그렇냐면요, 순방향은 되는데 역방향이 안 되기 때문이에요.
무슨 얘기냐면
생명과학을 이야기를 해보죠.
대립유전자 한 쌍(A, a)만 고려할 때,
한 쌍의 암컷과 수컷을 교배시켜 태어나는 자손의 유전자형 비를 정리해보세요.
AA X AA = AA(4)
AA X Aa = AA(2) Aa (2)
AA X aa = Aa(4)
Aa X Aa = AA(1) Aa(2) aa(1)
Aa X aa = Aa(1) aa(1)
aa X aa = aa(1)
이렇게 되죠?
그런데 문제는, 이렇게 배우고 나서 여러분에게
"Aa와 Aa를 교배했어요. 자손의 유전자형 비를 정리해보면 몇 대 몇인가요?"
이렇게 안 물어본다는 겁니다.
한 쌍의 암컷과 수컷을 교배했는데, [A] : [a] = 3 : 1이 나왔다.
부모의 유전자형은 무엇인가?
이렇게 나온다는 겁니다. 이게 역주행이에요.
우리는 부모로부터 자손이 어떻게 나올지를 공부했는데,
정작 시험문제는 자손을 주고 부모를 물어본다는 거죠.
다른 과목도 마찬가지입니다.
지구과학에서 "태양은 p-p 반응과 CNO 반응이 모두 일어난다."라고 배워놓고,
정작 문제에서는 "태양 중심부에는 질소가 존재할까?" 이렇게 나온다고요.
그러면 여러분은 "태양 중심부에서는 CNO 반응이 일어나니까, N이 존재하겠네!"라고 거꾸로 생각해야 한다는 거죠.
백지복습이 잘 된다고 하더라도 이런 "역주행"에서 취약점을 드러내는 학생들이 있습니다.
그래서 백지복습은 4단계인 겁니다.
그렇다면 4단계 친구들은 왜 "역주행"에 취약해지냐? 왜 5단계로 넘어가지 못하느냐?
단편적인 내용들을 연결하는 연습이 부족하기 때문입니다.
<목차>의 흐름이 연결되지 않고 조각조각나 있기 때문에,
"역주행"으로 물어보는 문제, 흔히 '단원 통합형' 문제나 '추론형' 문제라고 부르는 문제들에서
약점을 드러내는 경우가 많은 겁니다.
지구과학으로 돌아가볼까요?
여러분 이거 열심히 배우셨죠? 그런데 이거 왜 배웠나요?
백지 복습으로는 이걸 열심히 적었는데, 정작 지질 구조를 왜 배웠는지 모르는 게 4단계입니다.
이거
이거 때문에 배운 겁니다.
① 횡와 습곡이 중요한 이유는 아래에 있는 지층이라고 해서 무조건 먼저 쌓인 게 아닐 수 있다는 걸 알려주기 때문인 거고요,
② 부정합이 중요한 이유는 지층에서 잃어버린 정보가 있다는 걸 알려주기 때문이고,
③ 관입이 중요한 이유는 관입이 됐을 때는 그 지층의 순서가 고정되기 때문입니다.
이런 걸 할 수 있어야 5단계로 넘어갈 수 있는 거예요.
4단계에서 멈춰버린 여러분에게 필요한 것은
"저걸 왜 배웠지?", "저걸 배워서 어디에다 어떻게 적용하는 거지?"
라고 질문하는 것입니다.
아, 그래서 제가 백지복습을 하랬더니 무슨 단어 시험 보는 것 마냥
냅다 무지성 암기한 후 와다다 쓰고, 다 쓰고 나서는 까먹어버리는 학생들이 있더라고요?
그건 3.5단계입니다, 여러분.
자연스럽게 종이에 내가 배운 내용을 옮겨 적을 수 있는 것이 4단계예요.
5단계는 "책 없이 설명할 수 있다."입니다.
점수로 환산하자면 80~100점 라인이 여기에 속합니다.
역방향의 사고도 가능할 만큼 빈틈이 없어야 설명이 가능합니다.
그래서 여러분이 볼 때에는 백지복습을 하는 것이랑 설명을 하는 것이 별 차이가 없는 것처럼 보이시겠지만,
백지복습한 내용을 두고 이게 왜 여기에 적혀 있고, 어떤 순서로 써내려 간 것이며
이 내용에서 무엇을 유의해서 살펴봐야 하는지를 설명할 수 있어야 설명이 매끄러워지기 때문에,
백지복습과 설명하는 것 사이에는 큰 간극이 존재합니다.
여러분이 해보시면 아실 텐데요, 설명을 하는 도중에는
스스로가 질문을 떠올리기 마련입니다.
아까 언급한 지구과학 같은 경우에는
"어? 왜 지질 구조에서 지사학의 법칙으로 넘어갔지?"라는 질문을 하게 돼요.
이건 백지복습할 때는 생각을 못 했던 것이거든요.
그러면 여러분이 이 부분에서 공부가 부족했다는 것을 깨닫고,
왜 목차가 이렇게 구성되어 있는지 다시 고민해보게 되는 것이요.
꼭 지구과학이 아니어도 돼요.
문제 풀이를 두고 '이 유형은 이렇게 풀면 풀려'라고 설명하지 않고
'왜 이렇게 풀어야 하는지' 스스로를 설득시킬 수 있는 사람들,
그렇게 할 수 있는 것이 5단계입니다.
저는 이때 친구에게 설명하는 것이 가장 도움이 된다고 생각합니다.
여러분을 위해서는 아낌없이 질문을 던질 수 있는 사람들이기 때문이죠.
여러분이 5단계가 되고 싶다면
'내가 이렇게 얘기했을 때 친구가 뭐라고 질문할 수 있을까?"를 끊임없이 고민해보세요.
친구 질문에 방어전을 펼친다고 생각하면 좋습니다.
질문 공격이 들어와도 막아낼 수 있을 정도가 되어야 개념을 완전히 체화했다고 할 수 있는 겁니다.
끊임없이 질문하고("問"), 그 답("答")을 찾아나가는 과정,
그 과정에서 여러분이 지식의 측면에서 성장을 이룰 수 있다고 생각합니다.
자, 지금까지 "개념의 5단계"에 대해서 설명을 드렸습니다. 어떠신가요?
"와, 내가 저걸 어떻게 하지?"라는 생각이 들었다면,
단계별로 내가 뭐가 부족한 건지 생각을 해봅시다.
이 글에서는 다음 단계로 넘어가기 위해서 무엇을 해야 하는지 많이 알려드리려고 노력했으니까요,
다음 단계의 이정표가 보이실 겁니다.
그래도 아직 잘 모르시겠다면 댓글로 질문 남겨주세요.
언제든지 제가 도울 수 있는 한도 내에서 최대한 도와드리겠습니다.
긴 글 읽어주셔서 감사합니다. :)
안녕하세요. 메디친에서 대학생 멘토로 활동하고 있는 SongT입니다.
5월은 여러분들이 6월 모의평가를 앞두고 자신의 학습 상태를 점검해야 하는 시기입니다.
6월 모의평가를 대비한다고 실전 모의고사를 많이 풀어야 한다고 생각하는 학생들이 있는데,
실전 감각 훈련은 과목별로 한두 번이면 충분합니다.
그러니 6월 모의평가를 앞두고 무슨 스킬을 많이 배우고, 팁을 많이 쌓고 할 것이 아니라,
내가 지금 어느 위치까지 와 있고, 앞으로 무엇을 더 해야 하는지를 점검하는 것이 훨씬 더 좋습니다.
그걸 위해서 6월 모의평가가 있는 것이고요.
자, 글의 제목이 여러분이 지겹도록 많이 들었을 그 단어, '개념'입니다.
저에게 질문을 하러 오는 학생들은 '제가 개념이 부족한 거 같아요'라고 말하면서 찾아오는 학생들이 있고,
'제가 개념은 다 아는 것 같은데 문제가 안 풀려요'라고 말하면서 찾아오는 학생들이 있습니다.
그리고 이런 질문은 대충 5~6월, 이때쯤에 많이 하게 됩니다.
그러니 '개념'이라는 단어는 아무리 많이 강조해도 지나치지 않는 것 같습니다.
그러면 위에서 제가 언급한 학생들은 무엇이 문제일까요?
제가 생각할 때는 이 학생들이
'안다'와 '이해한다', '시험에 활용할 수 있다' 사이의 경계가 없는 것,
이것이 가장 큰 문제라고 생각합니다.
그러니 분명 아는 것 같은데 문제를 보면 '뭐더라?' 싶어서 정작 쓰지는 못하고,
답지를 보면 '아! 내가 아는 거였는데!'하는 사태가 발생한다.
그래놓고서는 이 학생들이 '개념은 아는데 문제가 안 풀려요!'라고 말하는 것이죠.
물론, 이렇게 얘기하는 친구들이 모두 다 개념 학습에 문제가 있다는 것은 아닙니다.
진짜로 개념은 아는데 문제를 못 푸는 학생들도 있습니다.
그때는 문제 풀이 태도와 관련하여 여러 가지 문제를 살펴보아야겠지만,
이게 진짜 개념의 문제인지, 문제 풀이/사고 방법의 문제인지 제대로 확인하는 과정은 필요합니다.
지금부터 할 얘기는 수능이든, 내신이든, 심지어는 초/중/고/대학 어디든 상관없는 이야기입니다.
여러분이 무언가를 배우고, 익히는 과정에 대한 이야기이기 때문입니다.
그럼 '개념'에 대한 이야기를 시작해보겠습니다.
학습 효율성 피라미드. 이제는 정말 많이 유명해진 것 같습니다.
공부를 하고 24시간 후에 남아 있는 비율을 나타낸 이 피라미드는 많은 의미를 담고 있습니다.
물론, 저 세세한 숫자까지 꼭 다 들어맞거나 정확한 데이터를 기반으로 한 것은 아니지만,
이걸 바탕으로 학습 과정의 많은 것들을 설명할 수 있습니다.
저는 이 피라미드 기반으로 제 경험을 좀 더 추가하여 '개념 학습의 단계'를 설명해보고자 합니다.
여러분이 어느 단계에 와 있는지 한 번 잘 생각해보시기 바랍니다.
많은 학생들이 수업을 들었다는 것만으로 무언가 공부를 했다고 착각하는 경우가 많습니다.
그런데 수업을 듣는 것은 공부라고 할 수 없습니다. 여러분의 지식이 되었다고 할 수 없습니다.
왜냐하면 수업 때 들은 것은 선생님의 지식이지, 여러분의 지식이 아니고,
수업 때 문제를 푼 것은 선생님의 문제풀이를 구경한 것이지, 여러분이 직접 그 문제를 푼 것이 아니기 때문입니다.
그러니 수업을 들었다는 것만으로는 여러분이 무언가를 '배웠다'라고 할 수 없습니다.
착각하지 마세요. 복습하지 않은 것은 공부를 하지 않은 것과 같습니다.
그러면 "수업을 들을 때는 무엇을 해야 하는가?"라고 물으신다면,
저는 선생님이 하는 모든 행동(action)이 이해가 되도록 하라는 말씀을 많이 드립니다.
선생님이 개념을 설명해주세요.
그러면 여러분이 수업의 흐름을 따라서 자연스럽게 그 개념이 이해가 되어야 하고요,
선생님이 문제를 푸세요.
그러면 여러분은 선생님이 왜 문제풀이를 저 단서에서 시작하는지,
왜 그 다음에 그런 생각을 하시는지, 선생님의 풀이 한 줄 한 줄이 다 이해가 되어야 합니다.
여러분이 수업 때 자연스럽게 이해가 되지 않은 부분이 있다면,
일단 열심히 필기를 해두고, 떠오르는 질문을 옆에다가 잠깐 적은 후에
혼자서 여러 번 생각을 해보셔야 합니다.
여러분이 한국사에서 흥선 대원군의 개혁 정책으로 서원 철폐, 호포제 실시, 경복궁 중건을
배웠다고 합시다. 그러면 여러분이 여기에서 의문을 가져야 할 것은
"흥선 대원군은 왜 대체 백성들이 그렇게 싫다고 반대하는 데도 경복궁을 중건했는가?"일 것입니다.
수업 시간에 들으면서 이러한 의문이 자연스럽게 떠오르고,
그걸 적어두었다가 교과서를 찾아보거나 선생님께 질문하면서 모르는 걸 채워나가셔야 합니다.
이제 여러분이 "복습을 했다." 정도가 되면 2단계가 됩니다.
강의를 다시 들어보면, 어디에서 무슨 내용을 얘기했는지는 알겠는데,
갑자기 내가 모르는 내용이 3~4군데 정도 있게 될 겁니다.
따라서 쉬운 문제에서도 풀이가 깔끔하다는 느낌이 들지 못하고 허둥지둥 풀게 되고,
어려운 문제는 문제 해석조차 되지 않는 거죠!
이 친구들에게 강의로 뭐 들었냐고 물어보면 짧은 단어 여러 개로 답변하는 경우가 많습니다.
"어, 접선의 방정식 배웠어요.", "판 구조론 배웠어요.", "가계도 푸는 거 했어요."
이런 답변들의 문제는 여러분이 봐도 보이시지 않나요?
그래서 뭘 배웠냐고요. 그 구체성이 없기 때문에 배운 게 거의 없는 것과 똑같은 겁니다.
여러분은 딱 떨어지는 수치를 좋아하시니까 굳이 이걸 점수로 환산하자면 50~60점 라인이 여기에 속합니다.
(개념만 잘해도 되는 한국사, 사회, 제2외국어(한문, 중국어, 일본어 등) 점수를 생각해 보시면 쉬울 겁니다!)
뭘 많이 듣는데, 뭘 많이 흘려듣는 거죠.
이 3단계 친구들이 제일 '골 때리는' 경우가 많습니다.
분명 뭘 많이 했는데, 문제를 풀면 턱턱 막히고, 뭐가 부족한지는 모르겠는,
그런 경우가 제일 많은 것이 이 3단계 친구들입니다.
3단계 친구들은 점수로 환산하자면 60~80점 사이에서 진동하는 학생들이 여기에 속하는 경우가 많습니다.
여러분이 3단계에 머물러 계신다면 제 이야기를 한 번 잘 들어보세요.
일단 이 친구들은 강의를 다시 들었을 때 내가 모르는 내용은 하나도 없습니다.
그러나 중요한 건, 이 단계에서 학습을 멈춘다는 겁니다.
그러면 몇 등급 나오냐면, 3등급이 평균이고, 아주 잘하면 2등급, 못하면 4등급 초반이 나옵니다.
이 친구들의 문제점은 두뇌 속에 지식이 흩어져 있어서 정리가 안 되어있다는 겁니다.
무슨 얘기냐면요,
수학으로 치자면 3점은 좀 풀겠는데, 4점 문제는 조금만 복잡하면 지칠 때까지 문제를 돌아돌아 푸는 것이죠.
이건 왜 그렇냐면 공부를 한 내용을 "어디서, 무엇을, 어떻게" 써야 하는지 모르기 때문에 벌어진 것입니다.
근본적으로는 배워야 할 내용을 '수용'만 했지 '이해'로 나아가지는 못한 것이라는 거죠.
이 단계의 학생들이 '질문'을 제대로 하지 않는 경우가 많습니다. '아 그렇구나!'에서 그쳐버리는 것이죠.
끊임없이 의심하고, 궁금해 해야 그다음 단계로 넘어갈 수 있습니다.
이 친구들이 '응용된 문제가 안 풀려요'라고 말하는 게 그 이유에요.
무슨 소리냐고요? 실제 문제를 보면서 이야기해볼까요?
수학에서 이번 3월 학력평가 이야기를 해봅시다.
기억나시려나요? 아, 혹시 안 풀어봤다면 지금이라도 풀어보세요.
.(해설 스포 방지점)
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해설이 이렇게 되어 있습니다.
근데 여러분 여기에서 뭔가 이상하지 않으세요?
대체 f(x)가 k-1보다 크거나 같다가 여기서 왜 필요하는지가 한 번에 납득하기 어렵다는 겁니다.
물론, g(f(x))라는 합성함수에서 f(x)가 새로운 정의역이 되었으니까
정의역의 범위를 확인하는 것은 매우 중요한 태도이지만,
내 눈에 먼저 보이는 것은 g(f(x))의 최솟값이 2라는 조건입니다.
그러니 저는 이 문제 풀 때 g(x)부터 그렸습니다.
g(x) 그리고 나서 생각해보니 g(x)는 최솟값이 2가 아닌데,
f(x)가 정의역이니까, 정의역이 제한되면서 최솟값이 2가 될 수 있겠네요.
그러니 f(x)의 값이 1/2보다 크거나 같도록 설정해주어야 하는 것이죠.
그래서 k 값이 범위로 나오는 것이겠네요!
여러분, 이 문제를 풀 때 만약 선생님께서 "f(x)은 최솟값이 k-1이야. 맞지?"라고 하셨으면,
여러분은 "그렇지. f(x)는 (x+1)2+(k-1)이니까 최솟값이 k-1이지."라고 할 것이 아니라!!
대체 왜 f(x)의 최솟값부터 찾고 시작하는 건지,
f(x)를 왜 표준형으로 바꾸고 시작하는지부터 궁금해 했어야 한다고요.
그런 질문을 하지 않으면 여러분이 풀이를 외우게 되는 겁니다.
그러면 또 합성함수로 낯선 최대, 최소를 물어보면 또 막히는 거죠.
Ander 멘토님이 만든 이 변형문제를 보세요.
(아래 링크 클릭!)
변형문제의 출처
저 문제에서 "f(x)의 최솟값부터 찾아야지!"라고 외워버린 학생들은
f(x)가 절댓값이 씌워져서 최솟값을 찾을 수 없다는 것에 쉽게 당황해버리게 되는 것이죠.
3단계에 있는 학생들은 이게 문제일 가능성이 매우매우 높습니다.
그러니 3단계에서 머무르고 계시다면,
"내가 당연하다고 알고 있는 것들이, 암기로 인해 당연해진 것일 수 있다"는 것을 깨달아야 합니다.
그러면 "그걸 제가 어떻게 깨달을 수 있죠?"라고 질문하시겠죠?
"왜?"라고 물었을 때 답할 수 있어야 여러분의 것이 된 겁니다.
저 10번은 왜 f(x) 최솟값부터 찾는 건지 여러분 스스로가 납득할 때까지 고민해보시라는 겁니다.
f(x) 최솟값부터 찾을 이유가 없다면 다른 걸 찾아야죠.
그렇게 "생각을" "아주 많이" 해야 합니다.
점수로 환산하자면 70~90점대 라인이 여기에 속합니다.
지구과학을 공부하셨으면, 판 구조론이 정립되는 과정을 백지에 그냥 쓸 수 있는 것이 4단계입니다.
이렇게요.
3단계 친구들에게 저거 써보라 하잖아요?
"아... 분명 들으면 아는데 쓰라고 하니까 못 쓰겠어요."
이렇게 이야기합니다.
이 친구들은 왜 아는데 못 쓰는 걸까요?
그건 앞에서도 얘기했듯 "지식이 흩어져 있기 때문" + "왜?라는 질문을 해본 적이 없기 때문"입니다.
그러니 뭐가 중심 내용이고 뭐가 곁가지인지를 구분을 잘 못합니다.
백지복습을 할 수 있다는 것은요, 자연스럽게 쓸 수 있다는 것은요
개념 간에 연결이 이루어졌다는 것이며,
책에서 죽어있는 지식이 본인의 뇌에서 살아나고 있다는 것입니다.
그러니 3단계에서 4단계로 나아가려면
교과서의 목차 순서가 왜 그렇게 되어 있는지를
이해해보려고 노력해야 해요.
여러분이 머리 속에서 그 흐름을 자연스럽게 그릴 수 있도록 노력해야 해요.
그러면 여기에서 이런 질문을 하는 친구들이 있을 수 있겠네요.
"백지복습이 된 거면 개념 다 된 거 아니에요? 이게 왜 아직도 4단계인거죠?"
오. 좋은 질문이에요. 그건 왜 그렇냐면요, 순방향은 되는데 역방향이 안 되기 때문이에요.
무슨 얘기냐면
생명과학을 이야기를 해보죠.
대립유전자 한 쌍(A, a)만 고려할 때,
한 쌍의 암컷과 수컷을 교배시켜 태어나는 자손의 유전자형 비를 정리해보세요.
AA X AA = AA(4)
AA X Aa = AA(2) Aa (2)
AA X aa = Aa(4)
Aa X Aa = AA(1) Aa(2) aa(1)
Aa X aa = Aa(1) aa(1)
aa X aa = aa(1)
이렇게 되죠?
그런데 문제는, 이렇게 배우고 나서 여러분에게
"Aa와 Aa를 교배했어요. 자손의 유전자형 비를 정리해보면 몇 대 몇인가요?"
이렇게 안 물어본다는 겁니다.
한 쌍의 암컷과 수컷을 교배했는데, [A] : [a] = 3 : 1이 나왔다.
부모의 유전자형은 무엇인가?
이렇게 나온다는 겁니다. 이게 역주행이에요.
우리는 부모로부터 자손이 어떻게 나올지를 공부했는데,
정작 시험문제는 자손을 주고 부모를 물어본다는 거죠.
다른 과목도 마찬가지입니다.
지구과학에서 "태양은 p-p 반응과 CNO 반응이 모두 일어난다."라고 배워놓고,
정작 문제에서는 "태양 중심부에는 질소가 존재할까?" 이렇게 나온다고요.
그러면 여러분은 "태양 중심부에서는 CNO 반응이 일어나니까, N이 존재하겠네!"라고 거꾸로 생각해야 한다는 거죠.
백지복습이 잘 된다고 하더라도 이런 "역주행"에서 취약점을 드러내는 학생들이 있습니다.
그래서 백지복습은 4단계인 겁니다.
그렇다면 4단계 친구들은 왜 "역주행"에 취약해지냐? 왜 5단계로 넘어가지 못하느냐?
단편적인 내용들을 연결하는 연습이 부족하기 때문입니다.
<목차>의 흐름이 연결되지 않고 조각조각나 있기 때문에,
"역주행"으로 물어보는 문제, 흔히 '단원 통합형' 문제나 '추론형' 문제라고 부르는 문제들에서
약점을 드러내는 경우가 많은 겁니다.
지구과학으로 돌아가볼까요?
여러분 이거 열심히 배우셨죠? 그런데 이거 왜 배웠나요?
백지 복습으로는 이걸 열심히 적었는데, 정작 지질 구조를 왜 배웠는지 모르는 게 4단계입니다.
이거
① 횡와 습곡이 중요한 이유는 아래에 있는 지층이라고 해서 무조건 먼저 쌓인 게 아닐 수 있다는 걸 알려주기 때문인 거고요,
② 부정합이 중요한 이유는 지층에서 잃어버린 정보가 있다는 걸 알려주기 때문이고,
③ 관입이 중요한 이유는 관입이 됐을 때는 그 지층의 순서가 고정되기 때문입니다.
이런 걸 할 수 있어야 5단계로 넘어갈 수 있는 거예요.
4단계에서 멈춰버린 여러분에게 필요한 것은
"저걸 왜 배웠지?", "저걸 배워서 어디에다 어떻게 적용하는 거지?"
라고 질문하는 것입니다.
아, 그래서 제가 백지복습을 하랬더니 무슨 단어 시험 보는 것 마냥
냅다 무지성 암기한 후 와다다 쓰고, 다 쓰고 나서는 까먹어버리는 학생들이 있더라고요?
그건 3.5단계입니다, 여러분.
자연스럽게 종이에 내가 배운 내용을 옮겨 적을 수 있는 것이 4단계예요.
점수로 환산하자면 80~100점 라인이 여기에 속합니다.
역방향의 사고도 가능할 만큼 빈틈이 없어야 설명이 가능합니다.
그래서 여러분이 볼 때에는 백지복습을 하는 것이랑 설명을 하는 것이 별 차이가 없는 것처럼 보이시겠지만,
백지복습한 내용을 두고 이게 왜 여기에 적혀 있고, 어떤 순서로 써내려 간 것이며
이 내용에서 무엇을 유의해서 살펴봐야 하는지를 설명할 수 있어야 설명이 매끄러워지기 때문에,
백지복습과 설명하는 것 사이에는 큰 간극이 존재합니다.
여러분이 해보시면 아실 텐데요, 설명을 하는 도중에는
스스로가 질문을 떠올리기 마련입니다.
아까 언급한 지구과학 같은 경우에는
"어? 왜 지질 구조에서 지사학의 법칙으로 넘어갔지?"라는 질문을 하게 돼요.
이건 백지복습할 때는 생각을 못 했던 것이거든요.
그러면 여러분이 이 부분에서 공부가 부족했다는 것을 깨닫고,
왜 목차가 이렇게 구성되어 있는지 다시 고민해보게 되는 것이요.
꼭 지구과학이 아니어도 돼요.
문제 풀이를 두고 '이 유형은 이렇게 풀면 풀려'라고 설명하지 않고
'왜 이렇게 풀어야 하는지' 스스로를 설득시킬 수 있는 사람들,
그렇게 할 수 있는 것이 5단계입니다.
저는 이때 친구에게 설명하는 것이 가장 도움이 된다고 생각합니다.
여러분을 위해서는 아낌없이 질문을 던질 수 있는 사람들이기 때문이죠.
여러분이 5단계가 되고 싶다면
'내가 이렇게 얘기했을 때 친구가 뭐라고 질문할 수 있을까?"를 끊임없이 고민해보세요.
친구 질문에 방어전을 펼친다고 생각하면 좋습니다.
질문 공격이 들어와도 막아낼 수 있을 정도가 되어야 개념을 완전히 체화했다고 할 수 있는 겁니다.
끊임없이 질문하고("問"), 그 답("答")을 찾아나가는 과정,
그 과정에서 여러분이 지식의 측면에서 성장을 이룰 수 있다고 생각합니다.
자, 지금까지 "개념의 5단계"에 대해서 설명을 드렸습니다. 어떠신가요?
"와, 내가 저걸 어떻게 하지?"라는 생각이 들었다면,
단계별로 내가 뭐가 부족한 건지 생각을 해봅시다.
이 글에서는 다음 단계로 넘어가기 위해서 무엇을 해야 하는지 많이 알려드리려고 노력했으니까요,
다음 단계의 이정표가 보이실 겁니다.
그래도 아직 잘 모르시겠다면 댓글로 질문 남겨주세요.
언제든지 제가 도울 수 있는 한도 내에서 최대한 도와드리겠습니다.
긴 글 읽어주셔서 감사합니다. :)